Arrels i fraccions contínues

Les arrels quadrades de nombres enters es poden aproximar sistemàticament fent servir fraccions contínues. Rafael Bombelli (1526-1572) va idear el procediment que segueix. Si volem calcular \(\sqrt{n}\) determinem l'enter a de quadrat més proper a n i escrivim \(\sqrt{n}=\sqrt{a^2+b}=a+\dfrac{1}{x}\). Aïllem \(\dfrac{1}{x}=\sqrt{a^2+b}-a\) i simplifiquem multiplicant pel terme conjugat. \(\dfrac{1}{x}=(\sqrt{a^2+b}-a) \cdot \dfrac{\sqrt{a^2+b}+a}{\sqrt{a^2+b}+a}=\dfrac{a^2+b-a^2}{\sqrt{a^2+b}+a}=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b}+a}\)

Però com \(\sqrt{a^2+b}=a+\dfrac{1}{x}\) podem escriure \(\dfrac{1}{x}=\dfrac{b}{a+\dfrac{1}{x}+a}=\dfrac{b}{2a+\dfrac{1}{x}}\)

Reiterant \(\dfrac{1}{x}\) obtenim \(\sqrt{n}=\sqrt{a^2+b}=a+\dfrac{b}{2a+\dfrac{b}{2a+\dfrac{b}{2a+\cdots}}}\)